Homotopie

Homotopie

 

[zu griechisch tópos »Ort«] die, -, Mathematik: Grundbegriff der algebraischen Topologie. Zwei stetige Abbildungen f₁ und f₂ zwischen den topologischen Räumen R und S heißen homotop (symbolisch f₁ ≅ f₂), wenn es eine in den Variablen x, t stetige Abbildung ϕ : R × [0,1] → S, (x, t) → ϕ (x, t), gibt mit ϕ (x, 0) = f₁ (x) und ϕ (x, 1) = f₂ (x). ϕ wird Homotopie genannt. Anschaulich lässt sich dies als stetige Deformation von f₁ in f₂ deuten. R und S heißen homotopieäquivalent zueinander, wenn es stetige Abbildungen f : R → S und g : S → R gibt mit f ° g ≅ id_S und g ° f ≅ id_R. Vom Standpunkt der Homotopietheorie aus unterscheiden sich homotopieäquivalente Räume nicht voneinander. Betrachtet man speziell geschlossene Wege zu einem festen Anfangs- und Endpunkt x₀ in einem topologischen Raum R (das sind stetige Abbildungen w : [0, 1] → R), so liefert die Homotopie relativ x₀ (d. h., dass x₀ während der Homotopie nicht bewegt werden darf: ϕ (x₀, t) = x₀ für alle t ∈ [0, 1]) eine Äquivalenzrelation. Die zugehörigen Äquivalenzklassen (Homotopieklassen) lassen sich mit einer - im Allgemeinen nichtabelschen - Gruppenstruktur versehen. Das liefert die Fundamentalgruppe, die die wichtigste Invariante der Homotopietheorie ist. Beispiel: Auf der Ringfläche (Torus) gibt es genau zwei Homotopieklassen von geschlossenen Wegen; zu der einen gehören die Meridiane, zu der anderen die Parallelen.

 

Betrachtet man »höherdimensionale« stetige Abbildungen [0,1]ⁿ → R (n ∈ ℕ, n > 1), so gelangt man zu den höheren Homotopiegruppen (n-te Homotopiegruppen).